哈佛經濟學家 Carmen Reinhart 以及 Kenneth Rogoff 其中一篇研究指出，對開發中國家而言如果外債佔 GDP 的60%以上，經濟成長率會降低 2%；而當外債佔 GDP 的 90% 以上的話，經濟成長率甚至會直接減半(Reinhart and Rogoff, 2010)。
那高度開發國家，像是美國呢？截至 2023 Q3，債務佔 GDP 的比重高達 120%，而外債佔 GDP 比重為 96%，如下圖：
美國之所以可以這麼「囂張」，正是因為美金是現在主流的交易、清算、與儲備貨幣，進而成為國際間主流的安全資產。各國的中央銀行因為都認可美金，所以會把美金存起來。
但是單純持有美金不是很聰明， 如果可以拿這些美金來投資，對各開發中國家而言會比較好，所以大部分國家的央行在賺取美金之後會拿來購買美國的債務，也因此美國外債會如此高，而需求也高。
（這在日常生活中是很蠢的類比：想像小米去手搖店買飲料，付了錢之後商家知道小米缺錢，就把小米剛付的錢借給小米。在國際貿易中，這位小米剛好就是發行貨幣的人。多快樂～）
目錄
1) 囂張的特權
2) 特權的喪失
3) 哪一個管道影響最大？
4) 美國的選擇 - 流程圖
5) 從流程圖倒數學
6) 參考資料囂張的特權
美國發行全世界都認可的貨幣，是因為基於種種歷史原因，全世界認為美金是安全的資產（追溯到金本位以及 Bretton-Woods 時期）。而美國知道他有這一種「特權」，所以理論上可以隨便發行這些安全的資產，而債務的成本也相對降低很多。這種囂張的行為讓美金在 1960年代獲得了「囂張的特權 (exorbitant privilege)」這樣惡名昭彰的形容。
但實際上，美國對於擁有這些特權也是樂此不疲。Farhi and Maggiori (2018)證明在國際貨幣當中稱霸，可以讓金融成本降低，也就是說美國獲得了獨占性租稅 (暫翻，原文為 monopoly rent)。
這一種特殊地位是一個雙面刃。美國為了持續享有這一項囂張的特權，會有極大的壓力不能倒債，否則美金就失去了「安全」這個頭銜。但另一方面，國際上大家都知道美國會極度珍惜這一項特權，所以美債有很高的機率不會倒債，進而導致大家更相信美債，造成一股對美債的高需求，讓美債的利率可以壓很低。
這個特權在兩個層面上改變了美國的遊戲規則：
- 鑄幣收入 seigniorage revenue
因為美國是國際貨幣發行國，所以理論上它可以透過印鈔來支付任何國際貿易上要付出去的美金。因為等價於多了另一份收入（成本則是發行貨幣的成本），所以稱作鑄幣收入。 - 非金額上的效用 non-pecuniary value
在持有這個特權之下，因為是國際儲備、安全資產，所以持有美國債務的投資人心理會多出一份與金錢無關的價值。可以想像是投資人在美債中獲得了與帳面所得無關的一份心安。這股安心感會反映在債券的價格上，稱作「便利殖利率 (convenience yield)」。有了這一個多出來的效用，美國便可以不用刻意調高債券的帳面利益，就可以讓投資人願意購買債券了。
這個假設乍看之下很 ad-hoc，但有文獻透過個體理論量化過這種 convenience yield ，這裡只需要知道有這麼一件事即可。
在享有特殊地位時的美國，會有這兩個設定；相反的，若不是貨幣霸權的主權國家，就不存在這兩個設定。
特權的喪失
人民幣的興起讓諸多學者像是 Berry Eichengreen 認為囂張的特權可能有一天會被替代。但撇除外在勢力的興起，單單在獨佔的霸權時代 （文獻稱作hegemon）就有一個讓特權崩盤的可能 — 違約。
萬一美國違約倒債，我們大概可以預想國際上信心崩盤，而這一種特權就消失了，但未來還是有一定機率會重新得到這種特權。
在擁有特權的時候，美國以及投資人會考慮到如果特權消失時美國要付出的成本以及少去的效用（機會成本的概念）。這讓美國沒這麼容易放棄特權。同時，在美國失去特權或是違約的時候，美國也會考慮到未來若重新取得特權時，他們可以重新享有的金融優勢。無論美國落到哪一種情境，理性上都會受其他所有未來的可能性制衡並被影響，而投資人也知道美國會做出對自己最有利的選擇，就此決定自己對債券的需求為何。
也就是說，美國的三種狀況：擁有特權、失去特權、違約，環環相扣且相互影響。如果失去特權時的效用也不錯，美國就會願意違約；而如果重新取得特權的機率太低，失去特權後效用的期望值也會被跟著拉低，進而讓美國更不容易違約。
哪一個管道影響最大？
前面提到，美國特權的地位主要透過兩個管道影響 — 投資人的非金錢效用 & 鑄幣收入。前者讓美國不用發行高利率債券就可以吸引投資人，後者讓美國前不夠可以直接創造收入。
究竟是那一個管道對美國影響最大呢？又，這種特殊地位，究竟幫美國多容納多少債務呢？
2024年2月，四位經濟學家 Jason Choi、Duong Q. Dang、Rishabh Kirpalani、以及Diego J. Perez 在 NBER 上面發表一篇 working paper 量化這個問題。他們使用 Eaton-Gersovitz 模型來刻畫(calibrate)美國的美元霸權，並且把前面提到的兩個管道加入模型。這是經濟學中常常用來解釋債務違約的模型，因為這個模型可以將一個國家所面臨的所有狀態（例如違約與否）都納入考量。
他們得到一個結論 — 這個特權為投資人所帶來的非金錢效用 (non-pecuniary value)，才是影響美國高債務可以延續的主要原因。
下圖是美國債券的收入(qB’) 與發行量(B’)的關係。如果完全不發債券，那債券收入為零（原點的位置）。如果發行無限多債券，投資人預期還不出來，一定沒人會買，所以債券收入一定也是零（圖形最右邊）。換句話說發放的收入會是一個倒 U 自形，前後收入是0，但中間會有一個最適發行量。這個與最適稅率的拉菲爾曲線概念很相近，所以這也被叫做「債務拉菲爾曲線 (debt Laffer curve) 」。
紫色的曲線就是上面的模型，根據參數校正之後的結果。可以看到債券(B’)就算發放到將近 1.2個單位，整體債券收入 (qB’) 還是很高。但只要沒控制好，收入就會歸零，因為債券價格會崩盤。
我們也可以直接觀察債券價格，如下圖的紅色曲線。在債券發行超過 1.2 的時候，價格就會歸零，因為投資人預期會倒債：
這兩張圖做了另外一件好玩的事情，也是整個文章的重點：
還記得前面說美國「囂張的特權」為美國提供了兩個特殊服務嗎？
- 鑄幣收入
- 便利殖利率
作者將這兩個特權的管道一一從模型中拔除，來看看哪一個影響最大。為方便觀察我重新放了一次圖片：
左邊黃色曲線是關掉「鑄幣收入」之後的債務拉非爾曲線。可以看到在最佳收入的時候美國能夠發行的債券量還是在 1.2 附近。但是如果關掉的是「便利殖利率」的話，也就是紅色的曲線，那美國最多可以發放的債券量直接少了將近 20%。
由此可見，對美國而言，債務量之所以還可以維持這麼高，最重要的因素其實是「便利殖利率 convenience yield 」所帶來的好處。一方面因為少了非金錢的好處，會讓債券價格下降（票面利率要提高才能吸引人），另一方面是因為在沒有 convenience yield 之下美國違約的成本變低，變得相對容易違約。而投資人知道這點，就會要求更多風險貼水，使得票面利率要更高，價格更低。
第二個管道尤為重要，表現在右邊的圖的藍線。有特權時美國違約的機會成本太高，使得投資人認為美債安全，可以借到的錢也更多，價格也可以比較高。
以下來試圖解釋這個模型究竟做了什麼
美國的選擇 — 流程圖
上一節提到，美國以及投資人在思考選擇時，會有一個流程圖。這個流程圖從最後往前推，就可以得出現在最佳的選擇（要倒債/不倒債）
圖中問號表示「選擇最好的那一條」。在有特權的時候，給定現在的一些經濟狀況跟現有債務，美國會選擇要不要繼續維持這個特殊地位。如果某天發現違約比較好，他就會違約並進入沒特權的狀態，並往下走下去。而失去特權之後，有一定機率獲得一張回到有特權狀態的入場券。無論有沒有恢復特權的入場券，美國一樣可以選擇要履行債務還是違約。如果違約，則又回到圖中間的違約處；如果有機會奪回特權，則全部回到最一開始的地方，如下圖：
這張圖就這樣一路連接下去...
本質上這是一種遞迴關係，如果能知道其中一條路之下的最佳選擇，就可以知道上一步的最佳選擇，因此是一個「動態規劃 (dynamic programming)」的問題。有趣的是，這是一個無限多期的動態規劃，而且是一個雞生蛋蛋生雞的情況。
有一個數學工具非常適合來描述這種流程，稱作 Bellman equations。我們可以想像美國在選擇走其中一條路的時候，是因為在現在這個狀態之下，那一條路帶來的長久以來的效益最高；經濟學中會說這條路的「終生效用 (lifetime utility)」或是「價值(value)」最高。這個終生效用有不確定性，因為難說明天會不會哪裡發生戰爭，使得各國對安全資產的需求變高了。但美國可以計算當下每一條路的期望值，並且走下去。
在進入數學之前，我們先用效用的角度重新檢視這一個流程圖。如果我們把有特權時的終生效用標記為 V*，失去特權時的終生效用標記為 V，違約時的終生效用標記為 W。V代表的是英文 Value的第一個字母。
在每一個階段，美國整體會獲得一個效用，來自於美國消費行為。這些消費行為跟當期美國要償還的債務，以及可以新借到的債務有關，當然還包含整體產出的稅收以及「鑄幣收入」（如果有特權的話）。
每一個狀態美國所面臨的預算限制都不同：
- 有特權時：政府支出 + 債務償還 ≤ 稅收 + 新發行債券收入 + 鑄幣收入
- 沒特權時：政府支出 + 債務償還 ≤ 稅收 + 新發行債券收入
- 違約時：政府支出 ≤ 稅收
在沒有特權時，美國政府的預算限制與有特權時最大的差異，只有在鑄幣收入，因為此時不再是國際通用貨幣。但是當美國違約時，因為不用償還債務，所以左邊只有政府支出，而此時美國也無法再於債券市場借道資金，也沒有鑄幣收入。
這當然是一個過度簡化的模型。第一、美國在違約時不太可能一次全部違約，比較可能是部分違約(partial default)。這在該模型中並沒有被處理。不過這可以在後續調整參數時，將債務佔GDP的比值設定為實際違約的比例（包含債務減免比例 haircut ratio）。不過原始論文中並沒有這樣處理，直接以實際的debt/GDP來做為目標，算是我對這篇一個最大的疑慮。第二、美國有各式各樣的債務 — 幾周的 T-bill，幾年的 T-note，幾十年的 T-bonds，而為了模型簡化，一律設定為一年短期債券。但這個是所有總體文章的通病，可以用到債務期機率來得到等效的量化結果，實際上對質化分析影響也不大，所以這邊不太需要多處理，只要最後的模型出來的各種目標值都正確即可做推論。。
投資人的選擇
投資人在面對美國的不同狀態，也會有不同反應。當美國沒有特殊地位，那基本上跟從任何國家買債券一樣。但是如果美國有這個「囂張的特權」，那投資人就多了一份安心，也就是前面說的「非金錢效用」。
這個只有在美國霸權時的效用，使得他們對面不同狀態的美國會給出不同的定價，而這個定價當然也會反過來影響美國的抉擇， 因為如果投資人在非美元霸權時所得到的效用比較低，加上知道美國倒債的機率增加，就會要求更高的票面利率，這時候債券價格就會變低。這讓美國在任何時間倒債的機會成本非常高，所以會更加深美國不能倒債的誘因。
從流程圖倒數學
我們來用數學將上面的流程圖寫下來。雖然文字上叫流程圖，但他實際上是一個動態規劃的問題，也就是將連續好多期的一個複雜的問題，簡化為一步一步的小問題。而每一步小問題都可以用數學來表達。
有特權
在享有特權時，美國當期獲得了一份效用，加上未來的終身效用的折現值。但這個終身效用在當下是要看是「繼續還債並享有特權」比較高，還是「違約」比較高。美國最後會選擇終身效用最高的那一條路走。
用數學上來表示則變成：
這是一個雙重最大值。給定下一期發行某一個債務量 B’，美國會得到相對應的效用 U(G) 還有未來的終生效用（乘上時間偏好率β ），取決於違約 W 比較好，還是繼續履行享有特權 V* 比較好。未來的終生效用不是一定的，跟一個隨機項 s’ 有關（而 s’ 與當下的狀態 s 有關），但在當下做決定時只能看期望值。接著，美國再評估要發行多少債務量 B’，才會讓上面的效用最大。
此時的預算限制為：
左邊是所有支出（政府花費G 以及還債B），右邊則是收入（稅收τ +鑄幣收入+新發行的債券 q* x B’）。在有特權時，美國是有鑄幣收入的，也就是紅色那一部分。他相當於總體產出的一小部分，等等要被估計。
帶入原本的終生效用可以寫成：
但為了美觀，之後預算限制也都會分開來寫。
違約
如果美國選擇違約了，也就是進到下面一步：
這時候用數學就變成
因為違約當期也不能再發行債務，所以不只直接進入沒有特權的狀態 V，還沒有 B’ 可以選。美國此時因為無法借款也將進入自給自足(autarky)的狀態，政府支出都從稅收來：
而違約之後，美國就進入沒特權的階段。
沒特權
雖然是沒特權，但因為沒有違約，所以要發行債務也是可以，只不過因為沒特權，發行的貨幣不再是國際貨幣，因此少了鑄幣收入。
最精采的數學當然是放最後面，不過如果前兩個都沒問題，這個應該也可以接受。
這裡最複雜的是中括號裡面哪一坨。θ 代表回到美元霸權並取得特權的機率，而 1-θ 則是繼續維持沒特權的狀態的機率。
在有機會回到美元霸權時，美國還是會考慮要還債還是倒債，所以θ後面還是有一個 max；相同的，維持沒特權狀態的美國一樣可以選擇要繼續沒地位但持續還債，還是再為約一次。針對每一個當下發行的債務量 B’，美國的選擇可能都不同，而美國會選擇讓整體的 V 效用最大的 B’來發行。
在失去特殊地位的美國，預算限制則少了鑄幣收入：
注意這裡的 q 沒有星號，但是享有特權時的債券價格卻是 q*。這表示除了沒有辦法有鑄幣收入以外，投資者面臨不同狀態下的美國，願意付出的價格也會有所不同。
現在就來看看投資人面臨的是什麼樣的問題。
投資人以及債券定價
投資人如果今天買了1單位的債券，明天就可以從美國拿回 1 美元。而如果債券的「價格」是 q，那麼當下投資人就相當於花了 q美元買債券。這裡債券價格跟票面利率 (coupon rate) 有以下關係：
至於價格如何決定？因為未來有不確定，所以這邊引入財務金融領域中的「資產定價公式」 p = E(mx)。套用在這個情境下的符號可以寫成
這裡的 m 稱作「隨機折價因子(stochastic discount factor)」或稱定價核心(pricing kernel)，是財金常用的東西，但因為跟這個模型關係較小，暫不詳細介紹。定價核心與狀態 s 與下一期的 s’ 有關。
值得注意的是，對投資人來說，債券的回報(payoff)還有一個不確定性 — 不確定美國會不會違約。因此這個價格與兩件事有關：明天的狀態以及美國的債券量，因為債券多寡實際上會影響美國違約的機率
這裡 δ(s’, B’) 表示美國下一期的違約決定，跟下一期的債券量與隨機狀態 s’ 有關。如果 δ =1，則美國違約，那投資人這個狀態下的 payoff 就變成 0；而如果 δ=0，投資人就可以拿回當初答應的 1美元。
不過，當美國有特權的時候，情況有些不一樣：
- 違約的機率會有所改變 δ → δ*
- 定價不同 q → q*，因為投資人多一份安心。正如第一節所提到的，這個安心無法用金錢衡量，因此稱作 non-pecuniary value，也是 convenience yield 的來源。
如果假設買 b 個債券，投資人的額外效用為 f(b) 的話，那多買一單位所多出來的邊際效用就是 f’(b)。也就是當美國有特權，均衡之下債券的定價公式變為：
將重新將違約的決定寫成數學式也不難，因為當該期違約的終生效用 W 大於持續有特權的終生效用時，才會選擇違約，也就是
均衡
上面所有模型的要素都有了，只差一些細節，比方說效用函數的形式 U(G)、產出的變動函數Y、投資人的隨機折價因子m、持有美債的額外效用函數等等，以及模型中的參數，都需要進行額外的校對 (calibration)，這裡請讀者自行參考原始文章。
每一個部分都有之後，就可以靠數值解的方式來「處理」這個模型了。
處理的方式文章中雖然沒有說明，但作法應該是透過Value function iteration — 先隨便猜 V, V*, W 的函數值，差很遠也沒關係，總之在所有狀態 (s, B) 的參數空間中，不斷迭代不斷迭代直到收斂。最後可以得到政策函數，也就是給今天的 s, B，最佳的 B’ 以及違約選擇δ會是什麼。
除了價值函數與政策函數以外，模型中的其他變數，像是政府支出、債券價格，也都可以被計算出來。
參考資料
Reinhart, C. M., & Rogoff, K. S. (2010). Growth in a Time of Debt. American economic review, 100(2), 573–578.ISO 690
Farhi, E., & Maggiori, M. (2018). A model of the international monetary system. The Quarterly Journal of Economics, 133(1), 295–355.ISO 690
Choi, J., Dang, D. Q., Kirpalani, R., & Perez, D. J. (2024). Exorbitant Privilege and the Sustainability of US Public Debt (No. w32129). National Bureau of Economic Research.